El Catoblepas • número 57 • noviembre 2006 • página 14

Geometría e ideología

Luciano Miguel García

Respuesta a Iñigo Ongay (El Catoblepas 43:17)

La respuesta de Iñigo Ongay a mi artículo sobre las aberraciones de la izquierda no criticables desde el concepto de la izquierda de Gustavo Bueno, y sobre las que el propio Iñigo Ongay había perpetrado en su anterior respuesta, estaba compuesta en su mayor parte por una sarta de pseudo-argumentos ad-hominem sin ninguna relevancia para el debate propiamente dicho^{1}, que no responden a mis objeciones y que por tanto a estas alturas ya no merecen comentarios detallados. También incluía la defensa de la adecuación a la Teoría de la Esencia de Gustavo Bueno del concepto de izquierda expuesto en El mito de la izquierda, que sí creo debe ser revisada, para dejar patente por esta vía cuál es el alcance de este concepto, en oposición al que yo había defendido. Para llevar a cabo este propósito puede recurrirse a las distintas especificaciones del género de las curvas que han llevado a cabo los clásicos de la geometría. Una vez completada esta tarea, será fácil entender cuáles son realmente los distintos caracteres del curso de la izquierda que ha trazado Gustavo Bueno y del que he trazado yo. Contrariamente a lo que ha creído Iñigo Ongay, el concepto de izquierda de Gustavo Bueno es fijista y corre el peligro de convertirse en una ideología metafísica, por definirse a partir de un núcleo estático, como es la holización de partes atómicas, mientras que el mío es procesual, por definirse a partir de un núcleo dinámico, como es la racionalidad constituyente.

Esencia y curvas

Para clasificar las distintas especificaciones de las curvas de los clásicos de la geometría puede recurrirse a dos criterios. El primero, la relación entre las distintas especies definidas, que puede ser jerárquica o dialéctica. El segundo, el ámbito al que se extienden tales especies, que utilizando la terminología de Gustavo Bueno, puede ser el núcleo, el cuerpo o el curso. El primer criterio lleva a distinguir entre definiciones de curvas como estructuras que pueden reiterarse en distintos contextos, pero que van degenerando al distanciarse del núcleo de relaciones funcionales que define una especie canónica con respecto a la cual las demás están jerárquicamente subordinadas, y definiciones de curvas como sistemas de especies definidas dialécticamente por la variación de los componentes elementales. Estas definiciones son adecuadas a la representación de realidades dinámicas y han hecho posible la física positiva moderna. El segundo criterio permite distinguir, en primer lugar, definiciones limitadas al núcleo, que es un acto estructurante mediante el que se establece una relación funcional indeterminada entre distintos elementos extraños entre sí. En segundo lugar este criterio permite distinguir definiciones que se amplían al cuerpo, como el envoltorio del núcleo, o conjunto de determinaciones invariables que proceden del exterior del núcleo. Finalmente, este criterio permite distinguir las definiciones que implican el curso resultante de las metamorfosis del cuerpo que agotan las posibilidades de variación del núcleo. La siguiente tabla ordena varios clásicos de la geometría en función de estos criterios

Tabla 1
Clasificación de clásicos de la geometría

	Relación entre especies
Alcance	Jerarquía	Dialéctica
Núcleo	Euclides	Kepler
Cuerpo	Apolonio	Descartes
Curso	Gauss	Riemann

Los geómetras clásicos

En la geometría plana de Euclides y Kepler la definición de las curvas se limita al núcleo estructurante, que es el trazado de una línea que mantenga una relación constante con uno o varios puntos exteriores. En la geometría de Euclides la única línea curva es la circunferencia, o lugar en el que «todas las rectas que caen dentro de ella desde un punto de los que está dentro de la figura son iguales entre sí» (Euclides, Def. 15). El acto estructurante de la circunferencia es el corte de un haz plano de rectas. Al suponer un espacio plano no hay determinación adicional por el cuerpo envolvente. El único curso de la circunferencia en la geometría de Euclides es desplazarse o variar el radio, sin transformarse en otra figura. Kepler redefinió las curvas sin abandonar la geometría plana, «atendiendo a la luz y con un ojo puesto en la mécánica» (Kepler: pág. 107), a partir de las propiedades de los «focos» en los espejos cónicos, que reflejan «la luz en uno de esos puntos cuando los rayos se originan en el otro» (Ibid.: pág. 107-108). El núcleo estructurante de las distintas curvas es la convergencia en un mismo punto de destino del reflejo de un haz de líneas desde un punto de origen. Lo que en otros términos expresa Kepler como «la líneas trazadas desde esos puntos a las líneas que tocan la sección [curva], a sus puntos de tangencia, forman ángulos iguales a los que se construyen cuando los puntos opuestos se unen a esos puntos de tangencia» (Ibid.: pág. 107). Los reflejos de las líneas trazadas desde un foco, en la circunferencia vuelven al mismo lugar, en la elipse pasan por otro foco interior, en la hipérbola convergen en otro foco exterior y en la parábola se proyectan en paralelo hacia un foco en el infinito. Las relaciones funcionales definitorias de las distintas especies de curvas se establecen entre las distancias desde los focos hasta las líneas curvas. A cada género corresponde una relación distinta la distancia que separa un foco del vértice de la curva en el eje de la figura (flecha en la terminología de Kepler, o abscisa del foco) y la distancia que separa los dos puntos de la curva unidos por la perpendicular al eje que pasa por el foco (cuerda en la terminología de kepler, o doble de la ordenada del foco). En la circunferencia la flecha es la mitad de la cuerda, en la parábola la flecha es la cuarta parte de la cuerda, en la elipse la flecha es menor que la mitad de la cuerda y mayor que la cuarta parte de la cuerda, en la hipérbola la flecha es menor que la cuarta parte de la cuerda. Estas relaciones funcionales, que no provienen del cuerpo, sino de variaciones en el núcleo, permiten demostrar que unas figuras se transforman en otras en el curso de desplazamiento de los focos a lo largo de un eje, de tal manera que «se pasa desde la línea recta [perpendicular al eje] a través de una infinidad de hipérbolas a la parábola, y consiguientemente a través de una infinidad de elipses al círculo. Porque la más obtusa de todas las hipérbolas es una línea recta; la más aguda, una parábola. Asimismo, la más aguda de todas las elipses es una parábola; la más obtusa, un círculo» (Ibid.: pág. 107). Como añadido a estas definiciones, Kepler aporta una definición de la hipérbola, la elipse y la parábola como estructuras reiteradas, que pueden trazarse con distintos compases fabricados con pernos, hilo y regla. En la hipérbola la diferencia de las distancias a los focos es constante, en la elipse la suma de las distancias a los focos es constante, y en la parábola es constante la suma de la distancia al foco cercano la vértice y la distancia mínima a una recta directriz perpendicular al eje. Pero si se asumiera esta definición y se olvidara la anterior, quedarían desatendidas las transformaciones sistemáticas de las curvas en el curso del desplazamiento de los focos a lo largo del eje.

En la geometría de Apolonio y Descartes el núcleo estructurante, que genera las curvas puede ser sometido a determinaciones externas, extendiéndolo y modificándolo. En Apolonio el haz de rectas plano de Euclides se transforma en cono al elevarse su centro, y produce distintas determinaciones. Entre los tres géneros de líneas curvas que definió Apolonio, la parábola –equiparación– es el canónico. En el corte de la superficie cónica por un plano que produce la parábola, el plano es paralelo a una recta generatriz de la superficie cónica, y se cumple que «el cuadrado de toda recta [ordenada] trazada desde la sección del cono paralelamente a la intersección del plano secante y el de la base del cono hasta el diámetro de la sección [eje], equivale al rectángulo formado por la recta que separa en el diámetro del lado del vértice de la sección [abscisa] y por una cierta recta cuya razón a la situada entre el ángulo cónico y el vértice de las sección es la misma que la del cuadrado de la base del triángulo según el eje al rectángulo formado por los otros dos lados del triángulo» (Apolonio: Libro I, Proposición 10). El acto estructurante de la parábola es el corte de un haz de rectas sólido, y la relación funcional definitoria la igualación de las áreas del cuadrado de la ordenada y el rectángulo formado por la abscisa y otra recta cuya longitud depende de la apertura del ángulo que forman las rectas en el vértice del cono. La variación en el ángulo de corte de la sección cónica da lugar a la hipérbola –exceso– cuando el plano es paralelo al eje del cono, y la elipse –carencia– cuando el plano corta el eje y las rectas generatrices. Las relaciones definitorias de la elipse y la parábola son desarrollos más complejos de la relación funcional definitoria de la parábola. Las tres figuras son estructuras que pueden reiterarse en cualquier lugar de la superficie cónica. No hay en Apolonio el seguimiento de un curso que permita comprobar la transformación sistemática de las relaciones funcionales de una curva en las de otra por la variación del núcleo cuando el plano gira en el cono, es decir cuando el núcleo es determinado por el cuerpo. Descartes en un anexo al Discurso del Método, después de ocuparse de problemas de las ciencias positivas, como el comportamiento de la luz o de los meteoros, se ocupa de las curvas. Las determinaciones no proceden del núcleo, sino de los posibles movimientos y adiciones de líneas relacionadas entre sí por una curva. Mientras que en las cónicas de Apolonio es necesario suponer un plano que corta a un cono sólido invariable, Descarte sólo incluye en el núcleo de su definición «dos o más líneas pueden moverse entre sí y que sus intersecciones generan otras curvas» (Decartes: pág. 295). Descartes, al establecer como acto estructurante de las curvas la relación entre líneas rectas que se pueden mover libremente en el plano, obtiene, mediante una ecuación, el modo de dar cuenta sistemáticamente de las transformaciones de las curvas al variar cualquiera de sus relaciones funcionales definitorias. Cuando los coeficientes de las variables de esta fórmula sean iguales o menores a 2 corresponderán a curvas de segundo orden, que pueden reproducirse mediante secciones cónicas; cuando los coeficientes son mayores las curvas son de otro tipo. Aunque la gama de curvas que define Descartes es más amplia que la que define Apolonio, las determinaciones también proceden del cuerpo en el que surge el núcleo, que es un conjunto de rectas no paralelas.

En la geometría diferencial la variación del cuerpo está contemplada en el núcleo definitorio de las curvas. Las líneas curvas geodésicas ocupan en un lugar en una superficie curva de dos dimensiones, desde el que mantiene una distancia variable con otras curvas de la superficie. Una curva geodésica equivale en la superficie curva a las rectas en la superficie plana: la curvatura de una geodésica es menor de la de las otras líneas de la superficie, la distancia más corta entre dos puntos de una superficie siempre está recorrida por una geodésica. El acto estructurante que genera la geodésica es la igualación de la variación de la línea y de la variación de la superficie en la que está inscrita, y la relación funcional, tal como fue definida por Gauss es la coincidencia en el mismo plano del vector curvatura de la línea y de la normal de la superficie, que en cada punto es a su vez perpendicular al plano tangente. La estructura de la curva geodésica se reitera en distintos lugares de una superficie curva. Pero cuando una curva geodésica se desplaza, puede permanecer idéntica a sí misma o puede perder su género sin encontrar otro alternativo. Riemann, al concebir el espacio como una magnitud múltiplemente extensa, originado por el paso definido de una dimensión a otra, concibe la línea curva como un conjunto de puntos cuyas posiciones vienen dadas por funciones de una variable diferenciable (Riemann: Pág. 7). La transformación de unas variedades de curvas en otras es generalizada.

Conclusión

Gustavo Bueno ha puesto acertadamente en paralelo su Teoría de la Esencia con la geometría de Apolonio (Bueno, pág. 105). Apolonio establece la parábola como especie canónica, y las otras curvas como determinaciones ulteriores por un cuerpo cónico estable. Gustavo Bueno establece la izquierda jacobina como izquierda prístina, y a las otras izquierdas europeas como determinaciones ulteriores por un cuerpo nacional estable. Si varía el cono varía también la figura de la parábola, pero no las relaciones funcionales que le son propias. Si varía el cuerpo nacional, por ejemplo en Asia, variará también la figura de la izquierda, pero no las relaciones funcionales originales. Sin embargo Gustavo Bueno se equivoca al equiparar la geometría de Apolonio a la de Descartes, puesto que en Descartes no hay especie canónica, sino variación sistemática. Otra de las limitaciones de la Teoría de la Esencia es concebir el cuerpo del que proceden las determinaciones del núcleo como invariante. No encuentro motivo para suponer que el cuerpo nacional no pueda variar afectando al núcleo definitorio de la izquierda.

A partir del repaso de los clásicos de la geometría queda de manifiesto que las definiciones de las curvas a partir de un núcleo dinámico han hecho posible la reconstrucción de los hechos físicos dinámicos. Kepler reconstruyó las leyes de los movimientos de los planetas al situarlas en órbitas elípticas. Newton, llevando más allá los descubrimientos geométricos de Descartes, explicó tales movimientos en función de fuerzas. Einstein relativizó la mecánica newtoniana recurriendo a la geometría de Riemann. En la definición que yo he dado de las distintas generaciones de izquierda las distintas fases se corresponden con la modificación de los componentes elementales del cuerpo político. No digo que acierte, sino que no yerro en el sentido en que lo hace Gustavo Bueno.

Referencias bibliográficas

Apolonio: Cónicas. En Vera, F.: Filósofos griegos, Aguilar, Madrid 1970.

Bueno, G.: El animal divino, Pentalfa, Oviedo 1985.

Descartes, R.: Discurso del método, dióptrica, meteoros y geometría, Alfaguara, Madrid 1981.

Kepler, J.: Optics Paralipomena to Witelo & Optical Part of Astronomy, Green Lion Press, Santa Fe, Nuevo México 2000.

Riemann, B: Riemanniana selecta, Consejo Superior de Investigaciones Científicas, Madrid 2000.

Nota

{1} El pseudoargumento más llamativo es postular que la causa de mi replica fue una suerte de ataque de ira provocado por su segunda respuesta. Este recurso le permite obviar los errores en la interpretación de mi texto que yo le había señalado. He de admitir que contrariamente a lo que yo suponía, Iñigo Ongay practica una dialéctica radicalísima, la que se hace una con su género contrario, que es la retórica. Claro que por ese camino será complicado llegar a ninguna otra parte que no sea la oscuridad de la caverna, sin haber aclarado antes el origen de las sombras, y sin distinguir la izquierda de la derecha presentes, como el mal cocinero del que habla Platón.