El Catoblepas • número 27 • mayo 2004 • página 14

A propósito de las matemáticas
y la estructura del universo

José Antonio López Díaz

En relación con la polémica entre Sigfrido Samet Letichevsky y Javier Pérez Jara se analizan las ideas de vacío físico, el Big bang, la eternidad del Universo y las matemáticas como estructura última del Universo, intentando clarificar varios aspectos de esas cuestiones desde la física moderna

En este artículo me propongo intentar clarificar algunas de las cuestiones que han quedado más o menos sin respuesta en el contexto de la interesante polémica mantenida en las páginas de esta revista entre los señores Sigfrido Samet Letichevsky y Javier Perez Jara acerca de la relación entre las matemáticas y el universo. El énfasis lo pondré en la delimitación más precisa de los aspectos científicos del tema, aunque también intentaré adentrarme en cuestiones de índole filosófica, para las que pido al indulgente lector que trate de captar más bien las ideas que su expresión técnica precisa en términos de un sistema filosófico determinado.

Sobre la naturaleza del vacío

Dice a propósito del vacío Javier Perez Jara (JPJ) en su artículo de El Catoblepas, nº 23:

¿Qué significa aquí «vacío» con la expresión «El Universo puede ser 'vacío' a nivel atómico»? Desde el materialismo filosófico, no existe vacío absoluto (en todo caso vacíos relativos «vacío de moléculas de gas», &c., que estarán «llenados» por otras materialidades), pues los espacios interplanetarios, por ejemplo, están surcados por campos electromagnéticos y gravitatorios; las propias partículas crean al desplazarse una onda, &c. El vacío absoluto, ligado metafísicamente al espacio absoluto de Newton, es una entidad inexistente, contradictoria en sí misma (el vacío absoluto como no-ser).

La afirmación primera puede ser admitida, es decir, que en realidad el espaciotiempo esté siempre lleno de alguna forma de materialidad, pero eso es distinto a afirmar, como hace al final, que «El vacío absoluto, ligado metafísicamente al espacio absoluto de Newton, es una entidad inexistente, contradictoria en sí misma (el vacío absoluto como no-ser)» . El vacío absoluto, entendido como puro espaciotiempo, no es contradictorio en sí mismo. Si lo fuera no se entiende cómo ha dado tanto juego en física, que ha llegado a la conclusión, según la teoría de la relatividad general, que es universalmente aceptada como la mejor teoría disponible para su descripción, de que es una variedad cuatridimensional con una métrica de signatura de Lorentz. Ni tampoco lo era en la concepción de Newton. Hay que hacer notar que en esta definición no entran más objetos de M1 que el propio espaciotiempo (si es que el espaciotiempo físico está en M1, como creo, según el materialismo filosófico), y para nada se hace referencia a ninguna otra forma de materialidad. Si se arguye que el espaciotiempo no está en M1, sino en M3, razonando, desde un punto de vista instrumental, que para su determinación necesitamos reglas y relojes, &c., entonces será una abstracción incluida en M3, y por tanto existente. Además efectos dinámicos tan corrientes como las fuerzas centrífugas que aparecen al rotar los cuerpos, sólo cabe atribuirlos causalmente a la estructura, por lo demás profundamente misteriosa, del espaciotiempo. Si imaginamos, con Newton, un cubo con agua girando en el punto del cosmos más alejado de otros objetos materiales, el agua curvará su superficie en la forma parabólica conocida, y la causa de este cambio respecto al reposo sólo puede tener que ver con el propio espaciotiempo en el que está el cubo. La presencia de campos electromagnéticos o gravitatorios, que hemos de suponer en todo caso extremadamente débiles en el entorno del cubo, o la interpretación del espacio como el estado de energía nula de electrores o fotones que da la teoría cuántica de campos, no se ve cómo puedan efectuar cambios tan notables a escala macroscópica. Por tanto el vacío absoluto de la física no es contradictorio sencillamente porque no es equivalente a la nada, tiene por el contrario una estructura que produce efectos perfectamente detectables sobre los cuerpos. Si JPJ lo prefiere, el vacío absoluto en física puede existir porque siempre estaría lleno de espacio. Que exista o no en la realidad no es una cuestión de lógica que pueda decidirse apelando al principio de no contradicción.

El Big bang

Con relación al tema del Big bang dice JPJ en El Catoblepas, nº 23:

Desde nuestras coordenadas la teoría del Big-bang no es una teoría científica, sino un mito metafísico (que, además, ni siquiera es el único ni el más usado para explicar el «origen» del Universo; pongamos por caso a Gunzig o Nordon cuando postulan un «vacío cuántico» y unas «fluctuaciones cuánticas» dadas en ese vacío y capaces de «desgarrar» el espacio-tiempo de Minkowski para dar lugar al universo corpóreo sin necesidad de pasar por una singularidad correspondiente a un Big-bang). El análisis crítico detallado sobre de la teoría del Big-bang excede a los objetivos de este artículo, sin embargo, podemos apuntar varias preguntas: ¿cómo la teoría del Big-bang puede hablar de un punto de energía si no existe el espacio? ¿En dónde se proyecta ese punto? Si no existe el espacio, tampoco existe ningún punto, salvo hipostasiar la entidad geométrica «punto», desvincularla de todo espacio, y caer en todo tipo de irracionalidades absurdas, casi inefables. Por otra parte, si ese punto de energía se concibe simple, y sin partes, ¿cómo puede estallar, proceso físico únicamente posible en un sistema complejo de partes que se codeterminan entre sí? ¿Acaso ese punto --que, para colmo, no está en ningún espacio-- se autodetermina a estallar? ¿Y cómo va a estallar si no existe el tiempo? Y ese punto, esa singularidad, si no es física ¿cómo puede ser objeto de estudio de la física? ¿Cómo la física, como ciencia categorial, puede hablar de semejantes entidades? La propia idea de materia como multiplicidad basta para concebir a la «singularidad» como una idea metafísica, fruto de múltiples e ilegítimas hipostatizaciones llevadas a cabo sin ningún control.

La solemne afirmación que hace JPJ de que la teoría del Big bang no es una teoría científica sino un mito metafísico es a todas luces falsa, si por teoría del Big bang entendemos la teoría física del Big bang y no las extrapolaciones metafísicas o religiosas a que haya podido dar lugar. Por el contrario coincido plenamente con la posición sostenida por Letichevsky (El Catoblepas, nº 24) cuando la califica de muy racional y con apoyos experimentales independientes, añadiendo que parte de la inversión temporal de la expansión del Universo, que ha sido confirmada experimentalmente. Pero además de apoyos experimentales, conviene tener presente el marco teórico en que se produce. Lo primero que hay que decir es que la inversión temporal a partir de la expansión del Universo observada en la actualidad (ley de expansión de Hubble) se hace en el seno de la teoría de la Relatividad General (RG) del espaciotiempo. No es este el lugar adecuado para indicar, siquiera someramente, las muchas evidencias experimentales a favor de la Relatividad General, notablemente la capacidad de predecir la existencia de objetos tan extraños como los agujeros negros, de los que ni se sospechaba con anterioridad su existencia. Una primera consecuencia fundamental es que, de acuerdo con la RG lo que se expande o contrae no es el contenido material del Universo en el seno de un espaciotiempo invariable, sino el propio espaciotiempo, «arrastrando» consigo a la materia, por sorprendente que esto pueda parecer.

Cuando Einstein, poco después del descubrimiento de la RG en 1915, atacó el problema cosmológico, se dio cuenta de que adoptando las hipótesis de homogeneidad e isotropía, naturales a gran escala en el Universo, las ecuaciones del espaciotiempo se simplificaban grandemente. La solución general más completa se conoce como métrica de Robertson-Walker. Los modelos estándar en cosmología surgen añadiendo las hipótesis de conservación de la masa-energía y una densidad de masa-energía total especificada. En estas condiciones todos ellos conducen a un Big bang, es decir, una singularidad matemática en que el radio del universo se reduce a cero y todos los puntos del espaciotiempo están infinitamente próximos entre sí (curvatura infinita). Esto sucede porque para todos estos modelos estándar la escala de longitud no puede mantenerse invariable en el tiempo, y se deben expandir o contraer (sólo por un instante algunos de ellos están en «reposo», justo entre el fin de la etapa expansiva y el comienzo de la compresiva).

Al propio Einstein esta circunstancia le desagradó profundamente y trató por todos los medios de soslayarla. No tardó en descubrir la posibilidad de añadir una magnitud a sus ecuaciones, la constante cosmológica (análoaga a una constante en una integración que hasta entonces había supuesto cero), perfectamente compatible con la Relatividad General. Sin embargo el valor de esta constante cosmológica, introducida de forma ad hoc en la teoría, tenía que tomar un valor determinado para evitar el colapso. Por eso aunque recientemente los cosmólogos se inclinan por un valor no nulo de la constante cosmológica, esto de ningún modo pone en peligro la existencia del Big bang (más bien por su signo lo aproxima en el tiempo).

Por otra parte, conviene recalcar que la teoría del Big bang tiene muy presente que la singularidad matemática a la que conducen las ecuaciones, no puede corresponder a la realidad física, ya que a escalas suficientemente pequeñas los efectos cuánticos deben intervenir. En esas condiciones de comprensión tan inimaginablemente alta de la materia y de campos gravitatorios tan enormes, no poseemos una teoría que combine satisfactoriamente la gravedad y la mecánica cuántica, de modo que no podemos ni siquiera intentar una descripción mínimamente realista, aunque por supuesto los físicos especulan al respecto. Dicho esto, el desarrollo a partir de una fracción de tiempo extremadamente pequeña, en la que los efectos cuánticos impiden el análisis, está razonablemente bien establecido, y en algunas predicciones importantes ha recibido confirmación experimental.

Tras este bosquejo de los hechos fundamentales en torno a la teoría del Big bang, la réplica a las objeciones de JPJ es bastante inmediata. El punto de energía es una singularidad de carácter matemático asintótico, mientras se contrae el universo lo hace por igual en todos sus puntos, no hacia ningún punto, y como indiqué, la teoría cubre con un velo de ignorancia lo que sucede a partir de un determinado límite. En ningún momento pide la teoría que se conciba al Universo como flotando en un espacio distinto al espaciotiempo en que estamos, y esto es válido siempre. Por tanto la cuestión referida a la «ubicación» del punto debe JPJ contestársela de forma paralela a la «ubicación» del Universo en la actualidad. La pregunta acerca del «estallar» está mal dirigida porque la expresión es puramente metafórica, para describir las extraordinarias velocidades de expansión de los instantes iniciales. La raíz de esa expansión está en las ecuaciones de la RG, como he repetido varias veces, y estas sólo incluyen como ingredientes a la materia, a través de la masa y de un tensor de carácter dinámico, y la geometría del espaciotiempo. La complejidad del sistema físico sólo entraría en cuestión a través de ese tensor cuando no se anule, y no influye de forma esencial en la deducción del Big bang en la aproximación cosmológica. Así que en último análisis la materia «estalla» por exactamente la misma razón que una piedra de 1 kg y un dispositivo de almacenamiento masivo de 1000 Gbytes de información que pese 1 kg se comportan exactamente igual en un campo gravitatorio (en el vacío). La cuestión de cómo va a estallar si no existe el tiempo pide literalmente el principio (o sea el Big bang como singularidad física y no sólo matemática), lo único que sabemos es que mientras hay tiempo (con un «mientras» retro-dirigido) el universo se expande, con mayor celeridad cuanto más atrás en el tiempo. El preguntar por antes del principio del tiempo es absurdo. Por estas mismas razones la aparente «autodeterminación a estallar» no plantea para la física, en mi opinión, más perplejidad que la «autodeterminación» a caer de una piedra que se suelta desde un balcón (y que conste que a mí esta segunda me platea mucha perplejidad).

Las dos últimas cuestiones las considero de mayor enjundia, no en el sentido literal en que las formula JPJ, pues debe quedar a estas altura claro que la teoría no aporta contenidos positivos sobre la singularidad, se limita a indicar su existencia en el sentido de propio límite de aplicación de la teoría. Pero sí que parece profundamente desconcertante que la física pueda, de alguna forma, entrever sus propios límites en un sentido tan radical, y que el propio marco de referencia espaciotiemporal se venga abajo. Aun así, no creo que este hecho sea una objeción fundamental, y por otra parte creo que se puede avanzar algo en la comprensión del fenómeno analizando con detalle las ideas centrales de la RG. Llegados a este punto, y como tratar de desbordar la razón físico-matemática sin abandonarla es tarea seguramente imposible, voy a utilizar un lenguaje mítico-alegórico, al hilo de la aseveración de JPJ de que el Big bang es un «mito metafísico». El lector suficientemente conocedor de la RG puede con tranquilidad saltar al siguiente párrafo. Para este cuento, y dado que las muertes dan más juego en mitología que los nacimientos, invertiré la dirección temporal al hablar del espaciotiempo. Empecemos pues, imaginando al Espacio y al Tiempo como dos dioses del Olimpo griego (Cronos lo era desde luego), absolutos, eternos, inmutables e inaccesibles por completo desde la Tierra. Pero un buen día (Relatividad Especial) ambos decidieron unirse en una nueva entidad, el dios Espaciotiempo de Minkwosky, a pesar de que Espacio era muy huraño y obsesionado con mantenerse en la pura «exterioridad» con relación a todo lo demás, y Tiempo no sabía hacer otra cosa que transcurrir incesantemente. Pero no perdieron, en esencia, nada de su primitiva dignidad, al ser ambos dioses (insistencia de Einstein en que su teoría de la Relatividad Especial, más que de la Relatividad debía llamarse de la Invarianza, constancia de c, &c.). Pero en cierta medida sí que perdieron su antigua inmunidad divina, volviéndose más vulnerables a los hechizos de la terrena Materia, y terminaron por sucumbir a sus encantos. Esta, requerida de amores insistentemente por Espaciotiempo, estaba bastante ofendida porque Espaciotiempo se limitaba siempre a decirle todo lo que tenía que hacer, Espacio donde tenía que estar y Tiempo cómo tenía que cambiar (asimetría entre espaciotiempo y materia, esta se rige por la estructura del espaciotiempo, mientras que este no se ve afectado por la materia. Este fue uno de los argumentos de Einstein para plantear la RG). Así que Materia le puso la dura condición a Espaciotiempo de que debía dejarse tocar por ella. Espaciotiempo accedió (curvatura del espaciotiempo en presencia de la materia). Pero claro, tuvo que pagar un precio muy caro, el de volverse mortal como Materia. Sin embargo este cuento no tiene un final del todo malo, pues ambos murieron en un abrazo intimísimo (Big bang).

Lo que este cuento puede iluminar es que en cierto modo la catástrofe del Big bang no es en esencia más misteriosa que el hecho de que el espaciotiempo se vea afectado por la presencia de la materia (lo cual, por supuesto, es muy misterioso). Esta última es mutable, y aunque satisface a leyes físicas de conservación que garantizan su preservación en una u otra forma, está ciertamente más cercana a la idea de eventos catastróficos que el espaciotiempo antes de la RG, para el que esto ni se podía imaginar. Por tanto, mientras no aparezca un sustituto de la RG que modifique las premisas básicas de esta teoría, no queda más remedio que contemplar como una posibilidad muy real el Big bang.

Eternidad del Universo

Continuando con las alegaciones de JPJ en su artículo leemos más adelante:

El materialismo filosófico no acepta, claro está, la eternidad del universo; pues desde la propia materia ontológico general (que sí es eterna, pues el tiempo está vinculado a un proceso continuo de composición y descomposición de partes conformadas –y de ahí la sucesividad–, y por tanto, la idea de tiempo sólo se mueve en el ámbito de la ontología especial) el Mundus adspectabilis es visto como contingente (pues M impide que se hipostasie ningún contenido ontológico-especial, y que, por tanto, se eternice –en contra de la metafísica, que siempre trata de eternizar algún contenido de la ontología especial–); el mundo actual (con sus ríos, planetas, galaxias, &c.) es visto como llamado a desaparecer (en su propio proceso dialéctico), y ser sustituido por otro contenido ontológico-especial, en un proceso recurrente infinito; pues M es eterna y siempre está en acto (las formas universales M_i).

De aquí deduce este autor la imposibilidad del Big bang. Pero a esta deducción cabe oponerle varios serios reparos En primer lugar JPJ no ha calado la maleabilidad del espaciotiempo relativista, y por tanto de su dimensión temporal. Por ejemplo, si un astronauta tiene la desgracia de caer a un agujero negro, en su tiempo propio se extinguirá destrozado por la marea gravitatoria en pocos segundos, pero un observador externo verá acercarse cada vez más despacio al astronauta al agujero negro, sin llegar a terminar de verlos nunca penetrar en él, en un tiempo asintóticamente eterno. Esto se debe a la ralentización del tiempo en presencia de campos gravitatorios que postula la RG, fenómeno que ha sido verificado experimentalmente comparando medidas de relojes atómicos en tierra y a bordo de aviones volando a alta cota. Por tanto la RG es capaz de transformar eternidades en tiempos finitos, y viceversa, depende del punto de vista.

Pero además, si desde el materialismo filosófico se insiste en formulaciones como «la eternidad de la materia ontológico-general» tendrán que aclarar en primer lugar a qué tiempo refieren esa eternidad. Pues la materia ontológico-general aglutina realidades que se comportan de forma muy diferente con relación al tiempo físico, desde las de M1 completamente sujetas a él, y por tanto a la posibilidad de eventos como el Big bang, hasta algunas de M3 que son «acrónicas» y por completo refractarias al mismo. Si a esta última forma de eternidad asemejamos la de la materia ontológico-general, es decir, «eternidad» como «acronicidad», entonces no se presenta ningún conflicto con la teoría del Big bang (no se me alcanza a ver cómo el Big bang pueda afectar a la temporalidad, sea cual fuere, o viceversa, del teorema de Pitágoras). Si es alguna forma de temporalidad distinta de las dos anteriores merecería recibir un nombre especial, por ejemplo tiempo ontológico-general. Esto tendría la ventaja de evitar que se hipostasiara indebidamente el Tiempo absoluto de Newton y de nuestra intuición trasponiéndolo sin más a la materia ontológico general, que creo que es lo que JPJ subrepticiamente hace tratando de refutar teorías como la del Big bang desde la «eternidad de la materia ontológico-general».

Las matemáticas y la estructura última de la realidad

Otro eje de la polémica gira en torno a la afirmación de Letichevsky de que las matemáticas pueden ser constitutivas del Universo (El Catoblepas, nº 22). Esta afirmación ha sido interpretada por JPJ en el sentido de que las matemáticas sean la estructura última de la realidad, posibilidad que rechaza enérgicamente alegando que esto sería practicar un formalismo terciogenérico, entrando en el terreno de la metafísica. Creo, sin embargo, que la cuestión presenta varios matices que pueden debilitar considerablemente la fuerza de las aserciones de JPJ. Para ello debemos repasar la descripción de la naturaleza que nos ofrece la física cuántica. Como es bien conocido esta teoría introduce la incertidumbre en el corazón mismo de la física, y de hecho está formulada toda ella en términos de probabilidades, no de certezas (salvo en los casos en que las probabilidades toman el valor 0 o 1). Estas probabilidades son al parecer irreducibles, es decir, no tienen que ver sólo con nuestra falta de conocimiento(inexistencia de variables ocultas) sino que forman parte de la misma manera de ser de la naturaleza. Cuando en el experimento de la rendija lanzamos un fotón hacia una disposición simétrica de rendijas, la probabilidad de que pase por cada una de ellas es ½, y siempre observamos que pasa por una u otra, no se bifurca. Esta irreducible incertidumbre tiene consecuencias filosóficas profundas en el campo epistemológico, como es obvio, pero quizá también en el plano ontológico, como trataré de argumentar.

Primero veamos las consecuencias que tiene para el esquema materia/forma de la realidad. Imaginemos a Aristóteles pensando sobre la materia y la forma, y que los dioses le habían jugado una mala pasada de forma que cuando trataba de centrar ideas contemplando una escultura de un hombre hecha en piedra, observaba que al día siguiente, sin ninguna razón aparente, la escultura se transformaba, o no, en otra con exactamente la misma forma pero de bronce, y viceversa. Y así día tras día. Por otra parte iba anotando cada día el material, y al cabo de un año resultó que aproximadamente la mitad de los días había sido de madera y la otra mitad de bronce. Ante esta situación seguramente tendría bien claro la idea de forma, pero en la de materia le surgirían grandes dudas. Si decidía denominarla piedra-bronce se quedaba profundamente insatisfecho, con la sensación de que esta piedra-bronce estaba lejos de ser algo pasivo y como pura receptividad para la forma sobrevenida, había algo más en ella que se le escapaba. El lector habrá adivinado que este relato trata de poner de manifiesto la dificultad de asignar algún tipo de materia a un objeto que se comporta como un fotón. Este ejemplo corresponde al caso en que la dicotomía irreducible que introduce la probabilidad se pone en la materia para conservar un concepto viable de forma (la forma sería el aspecto ondulatorio, la materia el corpuscular de la partícula cuántica grosso modo).

Si preferimos trasladar la dicotomía a la forma el lector puede fácilmente deducir que se presentan aporías semejantes a nuestro Aristóteles ficticio. Esto correspondería a hacer del aspecto ondulatorio la materia, y del corpuscular la forma, como si en nuestro ejemplo la escultura, siempre en piedra, se presentase unos días de una forma, y otros como su imagen especular. Me parece que la conclusión es que si aceptamos las premisas fundamentales de la mecánica cuántica, dentro del esquema materia-forma se abre como un foso, un vacío conceptual. Este vacío es real, desde luego, pero su clasificación como materia o forma en la dicotomía materia/forma es arbitraria. La descripción matemática de esta especie de vacío hilemórfico se hace a través del concepto de probabilidad, en una forma en cierto modo análoga a como el vacío de materia física se describe matemáticamente a través de la geometría del espaciotiempo. Creo que esto supone que las matemáticas han sido capaces de asimilar y como disimular (eso sí, bellamente, con objetos como funciones de onda) una característica de la realidad que difiere esencialmente de otras características de la realidad también matemáticas. Entonces quizá haya que andar con más cuidado antes de acusar a una teoría de la realidad que incluya estas matemáticas como de metafísica. Tengo la impresión de que mientras subsistan las probabilidades cuánticas, con el significado irreducible que les asigna hoy la física, no hay propiamente una metafísica (en un sentido corriente del término). Una metafísica tendría que dar cuenta de esas probabilidades, por ejemplo atribuyéndolas a una agente desconocido y por completo fuera del alcance de la mente humana (Dios juega a los dados, o bien los fotones tienen un «espíritu» que los guía misteriosamente, &c.), de modo parecido a como la libertad humana pide una explicación en un sistema metafísico. En este último caso se pude incluso negar su existencia, como es bien sabido, pero no en el caso de las partículas cuánticas sin derribar la física moderna por su base.

Naturalmente, cabe también la posibilidad de que la física cuántica se revele en el futuro como una teoría esencialmente incompleta, y se solucione de otra forma el problema de la incertidumbre. Pero, cómo caerá la moneda, ¿quién lo sabe?

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