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El Catoblepas, número 101, julio 2010
  El Catoblepasnúmero 101 • julio 2010 • página 12
Artículos

Platón y el universo de las dos esferas

José Alsina Calvés

En qué consiste exactamente este rótulo debido a Kuhn
sobre algunos modelos astronómicos clásicos

Universo

Introducción

La expresión «Universo de las dos esferas» la debemos a Kuhn{1}, para referirse a un amplio marco conceptual en el que caben distintas concepciones del universo, y que se desarrolló en Grecia a partir del siglo IV a.C. Dentro de él van a desarrollarse modelos astronómicos distintos, pero siempre con un conjunto de compromisos compartidos, tanto en el terreno metodológico como en el ontológico.

En el presente artículo vamos a estudiar en primer lugar en qué consiste exactamente este «Universo de las dos esferas», y para ello utilizaremos el modelo de paradigma de Kuhn, y el de tradición de investigación de Laudan. A continuación pasaremos revista a algunos de los modelos astronómicos más importantes que se producen en su seno: el de Eudoxo, el de Aristóteles y el de Ptolomeo, y discutiremos hasta qué punto el propio modelo de Copérnico es deudor del «Universo de las dos esferas».

A partir de aquí entraremos propiamente en materia, analizando hasta dónde el «Universo de las dos esferas» como marco conceptual amplio es deudor de la filosofía platónica, y, más concretamente, de la cosmología platónica expuesta en el Timeo. En nuestro análisis tendremos en cuenta los elementos de orden metodológico y los de orden ontológico.

Nos centraremos en la cuestión de la influencia platónica en la elaboración conceptual del «Universo de las dos esferas», pero dejando abierto el tema del posterior influjo platónico en la revolución físico-astronómica de los siglos XVI y XVII.

El universo de las dos esferas

Los primeros sistemas geocéntricos (esto es, que situaban a la Tierra en el centro del Universo) aparecen en Grecia, en torno al siglo IV a. C. Con ellos tenemos la primera tentativa, si no científica al menos racional, de solucionar el problema de la situación de la Tierra en el Universo. Todos los sistemas geocéntricos tienen una serie de elementos compartidos, tanto en el terreno metafísico como metodológico, hasta el punto que podemos considerar el modelo geocéntrico como un paradigma, en el sentido que Kuhn da a esta expresión{2}. Este modelo también puede ser considerado como una tradición de investigación, según el esquema de Laudan{3}, en cuanto contiene una metodología (reducción geométrica de todos los movimientos a los circulares) y una ontología (conjunto clasificado de cuerpos celestes).

Este modelo básico estaría formado por la esfera de la Tierra, situada en el centro, y por una gran esfera exterior, donde estarían las estrellas. Esta segunda esfera marcaría los límites o confines del Universo. Entre las dos esferas estarían los cuerpos celestes, desplazándose siempre mediante movimientos circulares, sean círculos o combinaciones de círculos. Este modelo es conocido como el Universo de las dos esferas{4}, cuyos elementos fundamentales los podemos resumir de la siguiente manera:

1. Tanto los cuerpos celestes como la Tierra tienen forma de esfera, aunque en el caso de la Tierra nos sólo es una asunción teórica, sino que su esfericidad cuesta con razones justificadas de carácter empírico.

2. El Universo tiene forma esférica y, por tanto, es finito.

3. La esfera de la Tierra se halla en el centro de la esfera cósmica.

4. Todos los movimientos celestes son circulares.

5. La velocidad angular de los cuerpos celestes es invariables (el término «velocidad angular» es moderno).

6. El sentido de los movimientos circulares planetarios es siempre el mismo; no hay inversiones de sentido{5}.

Hay que tener claro que este Universo de las dos esferas no es en modo alguno una verdadera cosmología, sino un marco estructural en que encuadrar concepciones globales sobre el Universo. En su seno se desarrollaran gran número de sistemas astronómicos y cosmológicos diferentes, en ocasiones contradictorios, durante los diecinueve siglos que separan el siglo IV a. C. de la época de Copérnico.

Aunque el Universo de las dos esferas es esencialmente distinto de otros modelos anteriores, desarrollados por babilonios y egipcios, podemos encontrar algún elemento en común. En estos modelos anteriores la Tierra era plana, y el cielo se extendía sobre ella como una bóveda. Al pasar de una Tierra plana a una esférica se unen las dos bóvedas simétricas situadas por encima y por debajo de la Tierra y confieren al Universo una envoltura apropiada y satisfactoria.

A pesar de todo, la diferencia fundamental entre el Universo de las dos esferas y los modelos anteriores hemos de situarla en el plano metodológico. Los elementos mágicos, alegóricos, simbólicos, las intervenciones de fuerzas divinas y los relatos cosmogónicos, abundantes en las descripciones del Universo de egipcios y babilonios, han desaparecido aquí por completo. En la civilización griega se ha dado un paso desde la mentalidad mítica a la racional, en el contexto del cual hay que inscribir al Universo de las dos esferas.

Pero que nos movamos en un contexto racional y no mítico no significa que las cuestiones filosóficas, metafísicas o estéticas no tengan su peso. De hecho los primeros argumentos a favor de la esfericidad de la Tierra (y en consecuencia de la esfericidad del Universo) procedían del campo teórico más que de la observación empírica, y fueron formulados en la Academia de Platón, en Atenas. Esta es la tesis que intentaremos demostrar en el presente artículo.

El Universo de las dos esferas como paradigma

El «Universo de las dos esferas» parece encajar con la primera definición de Kuhn de los paradigmas{6}: marcos conceptuales amplios cuyo logro carecía de precedentes como para atraer a un grupo duradero de partidarios, y al mismo tiempo lo bastante incompletos como para dejar muchos problemas para ser resueltos por el redelimitado grupo de científicos.

Algunos autores han tratado de precisar el concepto de paradigma. Para Pérez Ransanz{7} la investigación está guiada por un paradigma en los dos sentidos del término: 1) paradigma como ejemplo de solución exitosa de cierto tipo de problemas, y 2) paradigma como conjunto de compromisos compartidos. Por su parte Bird{8} define los paradigmas como «estilos de pensamiento en acción», y les atribuye, por encima de todo, una función explicativa.

El propio Kuhn ha reconocido una cierta ambigüedad en el término «paradigma»{9}, y aclarando la posibilidad de dos interpretaciones distintas al mismo: la sociológica, como acuerdo de grupo, algo difusa; y la de matriz disciplinar, que se refiere más bien al contenido del acuerdo de grupo, y está estrechamente relacionado con la disciplina que se practica. De la matriz disciplinar surgen las generalizaciones simbólicas o leyes. Todavía sugiere Kuhn una tercera interpretación del concepto de paradigma: el de ejemplo compartido para la resolución de problemas.

La aplicación del modelo de Kuhn a la interpretación del «Universo de las dos esferas» presenta, a nuestro modo de ver, tres problemas:

1. La diversidad de interpretaciones del término «paradigma», ya comentado.

2. La dificultad para distinguir entre el paradigma propiamente dicho y las teorías que podemos encontrar en su seno.

3. La dificultad para aplicar el modelo de Kuhn a determinados momentos históricos como el que nos ocupa, con «comunidades científicas» nada estructuradas, y demarcaciones disciplinares borrosas.

Con respecto al primer problema ya nos hemos ocupado de él. De las definiciones posibles del concepto de paradigma, nos hemos referido a la de marco conceptual amplio como la más adecuada para aplicarla al Universo de las dos esferas.

El segundo problema se refiera a la dificultad de distinguir, de forma clara e inequívoca, entre el paradigma como marco suprateórico y las teorías concretas que se desarrollan en el mismo. De hecho, aunque en teoría Kuhn distingue entre el paradigma y las teorías situadas en un escalón más bajo, en la práctica nunca ha dado ningún ejemplo de sustitución de teorías dentro de un mismo paradigma, ni ha dado ninguna pista para aclarar la relación entre el paradigma y sus teorías constitutivas.

Laudan se refiere a esta cuestión en su crítica al modelo de Kuhn{10}, planteando una serie de preguntas, tales como ¿Implica el paradigma sus teorías constitutivas o simplemente las inspira? ¿Justifica el paradigma sus teorías o a la inversa, el paradigma se justifica en ellas? ¿Precede el paradigma a su teoría, o surge noles volens tras su formulación? Todo ello plantea dudas sobre la aplicabilidad del modelo de Kuhn al caso concreto que nos ocupa.

Un tercer problema (o grupo de problemas) surge de la sociología de la ciencia implícita al modelo de Kuhn, Esta presupone la existencia de comunidades científicas altamente estructuradas, tal como aparecen en la historia de la ciencia europea desde el siglo XIX hacia adelante. Es cierto que Kuhn se refiere a la existencia de ciencia preparadigmática{11}, pero aparte de la existencia de escuelas no nos da ninguna pista para la aplicación de su modelo.

¿Hasta qué punto el modelo de comunidad científica de Kuhn es aplicable a los astrónomos griegos de los siglos IV y III a. de C.? De hecho resulta altamente problemático hablar de «comunidad de astrónomos» cuando no existe una delimitación disciplinar y las matemáticas, la astronomía y la filosofía formaban un todo, como ocurría en el periodo en estudio.

Así pues, aunque en términos generales podemos considerar al Universo de las dos esferas como un paradigma, que será sustituido por otro paradigma a través de la revolución copernicana de los siglos XVI y XVII, por las razones expuestas no nos parece el modelo de Kuhn el más adecuado para aplicarlo a la historia de la astronomía en la época que nos ocupa{12}.

El Universo de las dos esferas como tradición de investigación

Laudan (pág. 114) ha definido las Tradiciones de Investigación (en adelante TI) como marcos conceptuales más amplios que las teorías, que se caracterizan por un conjunto de rasgos comunes:

1. Toda TI tiene un cierto número de teorías específicas que la ejemplifican y la constituyen parcialmente; algunas de estas teorías pueden ser contemporáneas, otras sucesiones temporales de teorías anteriores.

2. Toda TI se caracteriza por determinados compromisos metafísicos (u ontológicos) y metodológicos, que la distinguen de otras.

3. Cada TI discurre a través de un cierto número de formulaciones diferentes y pormenorizadas, y tiene generalmente una larga historia, que se extiende a lo largo de un considerable periodo de tiempo. Las teorías que la integran tienen generalmente una vida corta.

Laudan (págs. 11-13) ha definido también el propósito de la ciencia como consistente en obtener teorías con una elevada efectividad en la resolución de problemas. En este sentido ha propuesto una división de los problemas científicos en empíricos y conceptuales. Los problemas empíricos tienen que ver con las relaciones de las teorías con el mundo real y representan las exigencias correspondistas. Los problemas conceptuales tienen que ver con las relaciones de una teoría consigo misma, con otras teorías de amplia aceptación, o con marcos conceptuales más amplios (TI). Representan las exigencias coherentistas.

Veremos cómo el modelo de las TI de Laudan se ajusta a la perfección (o casi) para la descripción del Universo de las dos esferas. En primer lugar vamos a ver cuál es la metodología y la ontología que lo caracterizan como TI. La metodología podría resumirse en la frase «salvar las apariencias»: por debajo de la aparente multiplicidad de los fenómenos astronómicos se busca la reducción a un movimiento definible. Este movimiento es el circular, de modo que todo movimiento de un cuerpo celeste puede reducirse a círculos (o esferas) o a combinaciones de los mismos. Esta metodología (tal es nuestra tesis) está inspirada en la teoría platónica del conocimiento, según la cual lo inteligible subyace a lo sensible y es el auténtico objeto de conocimiento.

La ontología (es decir, los entes que existen) viene definida en primer lugar por un Universo finito, que se extiende desde la esfera de la Tierra hasta la esfera del Universo. Dentro de este Universo finito habría que distinguir entre dos zonas o ámbitos de realidad diferentes: el de la Tierra (o sublunar), donde reina el devenir, la generación y la corrupción, y el del Cielo, donde están los cuerpos celestes, incorruptibles y animados de movimientos circulares.

Las distintas teorías o modelos astronómicos que forman parte de esta TI comparten la metodología y la ontología descritas. Veamos ahora cada uno de estos modelos, y la manera en que solucionan problemas empíricos y conceptuales.

Los modelos planetarios en el universo de las dos esferas

El modelo planetario de Eudoxo

Eudoxo de Cnido (408-335 a.C.) fue discípulo de Platón. Como geómetra y astrónomo se planteó elaborar un modelo que pudiera explicar las observaciones en el marco de las enseñanzas recibidas en la Academia. Adoptó como punto de partida el movimiento circular que se origina por rotación de una esfera sobre su eje, de modo que podía salvar las apariencias mediante la combinación de esferas en rotación.

No era posible limitar la estructura del mundo a un conjunto de ocho esferas, una por cuerpo (la Luna, el Sol, los cinco planetas conocidos y la de las estrellas), pues un movimiento de rotación simple era insuficiente para describir la trayectoria de los cuerpos celestes, ni siquiera de la Luna y del Sol. En realidad la rotación simple sólo servía para describir el movimiento de las estrellas, a las que se suponía situadas sobre la última esfera, la que limitaba el conjunto del Universo. Esta esfera gira de este a oeste, con velocidad uniforme, empleando 23 h 56’ en dar la vuelta completa (día sidéreo). Su eje se orienta en la dirección norte-sur, lo mismo que el de la Tierra. El círculo máximo de esta esfera, perpendicular al eje será el ecuador celeste.{13}

La propuesta de Eudoxo consiste en introducir, junto a las esferas que transportan un astro, otras vacías o sin astro cuya función sería la de agregar su movimiento a las anteriores. Como consecuencia, el movimiento circular del cuerpo en cuestión en su esfera se vería mediatizado por el movimiento de las restantes esferas vacías, produciendo el movimiento complejo que se observa. Todas estas esferas, tanto las portadoras de astro como las otras, tendrían su centro en la Tierra, por lo que al modelo de Eudoxo se le llama también el de las esferas homocéntricas.

Veamos cómo explica Eudoxo el movimiento del Sol. Se vale de dos esferas: una interior que transporta el astro, y otra exterior, vacía. La primera gira lentamente en dirección este alrededor de su eje, de tal manera que da una revolución completa al cabo de un año. La segunda gira al ritmo de una vuelta al día: la suma o combinación de ambos movimientos reproducirá el movimiento observado del Sol. Eudoxo introdujo una tercera esfera innecesaria para describir el movimiento del Sol, probablemente por una cuestión de simetría con respecto a la Luna.

Para describir los movimientos de la Luna, Eudoxo necesita recurrir a tres esferas. En este astro hay que distinguir un movimiento diurno y otro mensual. La esfera más externa justifica el movimiento hacia el oeste que la Luna comparte con el Sol y con las estrellas, y tarda un día en dar un giro completo. La segunda esfera describe el movimiento peculiar de la Luna en un mes. Este astro atraviesa mensualmente la eclíptica{14} empleando en ello 27,32 días (mes sidéreo). A lo largo de esta vuelta completa la Luna va cambiando de fases (nueva, cuarto creciente, llena, cuatro menguante). El tiempo que transcurre entre dos fases iguales de la Luna es de 29, 53 días (mes sinódico).

Todo ello permite inferir cómo ha de concebirse la segunda esfera de la Luna: la rotación ha de tener lugar en el sentido oeste-este, su eje estará inclinado 23 ½º con respecto al eje de la primera esfera a fin de que su ecuador coincida con la eclíptica, y su velocidad se considera invariable. Pero la Luna presenta un tercer movimiento de desviación respecto a la eclíptica hasta un máximo de 5º, por lo que hay que introducir una tercera esfera que aquí, a diferencia del Sol, sí tiene justificación. El eje de esta esfera estará inclinada 5º con respecto a la segunda y el sentido de su rotación será de este a oeste, es decir, como la primera.

Consideremos ahora el movimiento de los planetas (Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio). De entrada harán falta dos esferas para cada uno de ellos: la primera describiría la rotación diaria hacia el oeste que los planetas comparten con todos los cuerpos celestes. La segunda para explicar la vuelta completa que cada planeta realiza a lo largo de la eclíptica (periodo sidéreo), y que varía para cada uno de ellos, desde los veintinueve años de Saturno al año de Mercurio y Venus. Estas dos esferas coincidirían básicamente con las características de la primera y segunda esfera del Sol y de la Luna.

Pero los planetas presentan otros movimientos; en su recorrido se alejan de la línea de la eclíptica hasta unos 8º en dirección norte-sur. Además invierten el sentido normal de su movimiento hacia el este, desplazándose hacia el oeste temporalmente y variando sensiblemente su velocidad. Por tanto hay que describir tanto el movimiento latitudinal como el de retrogradación. Para ello Eudoxo introduce dos esferas más, que serán la tercera y la cuarta, con velocidades iguales y sentidos opuestos, en torno a ejes inclinados entre sí de modo diferente para cada planeta.

El movimiento de estas esferas, al combinarse con el de la segunda, que es uniforme hacia el este, produciría un efecto parecido al de avance y retroceso en el camino del planeta a lo largo de la eclíptica. Téngase en cuenta que en un modelo heliocéntrico este movimiento retrógrado aparente es consecuencia del adelantamiento mutuo de la Tierra y los planetas en su recorrido orbital.

Se precisan pues veinte esferas para describir el comportamiento aparente de los cinco planetas, cuatro para cada uno de ellos. Solo la cuarta transporta en su interior el planeta; las otras tres están vacías, pero todas están ligadas entre sí. El modelo de Eudoxo pone en juego un total de veintisiete esferas homocéntricas, con un centro común para todas ellas ocupado por la Tierra. Autores posteriores, como Calipo, discípulo de Eudoxo, continuaron trabajando en el modelo en pos de un mayor ajuste, y aumentaron el número de esferas a treinta y cuatro.

El modelo de Eudoxo no presenta problemas conceptuales. Tiene coherencia interna, y no entra en contradicción en ningún aspecto con la propia TI de la que forma parte, ni con ninguna otra teoría de prestigio.

En cambio el modelo de Eudoxo presenta importantes anomalías, es decir, problemas empíricos mal resueltos. Está en primer lugar la variación del brillo de los planetas (que se interpretaba, correctamente, como una variación de su distancia respecto a la Tierra). Estos cambios de brillo suelen coincidir con la retrogradación, y son especialmente visibles en el caso de Marte o de Venus. Para un sistema que se fundamenta en las esferas homocéntricas, es decir que comparten un centro que coincide con la Tierra, este fenómeno resultaba difícil de explicar.

Otro problema para el sistema de Eudoxo lo constituía la desigual velocidad con que la Luna, el Sol y los planetas recorren aparentemente la eclíptica. Las anomalías eran demasiado manifiestas, y esto provoco que la astronomía posterior se fuera apartando del modelo de las esferas homocéntricas.

El modelo de Eudoxo y Calipo inicia la tradición astronómica, es decir, el estudio del movimiento de los cuerpos celestes y la elaboración de modelos geométricos para describirlos. Otra tradición distinta, aunque relacionada, es la cosmológica, es decir la elaboración de modelos físicos para explicar el origen, la extensión y la composición del Universo. Esta tradición se inicia con Aristóteles, contemporáneo de Eudoxo.

Aristóteles: física y cosmología

Aristóteles (siglo IV a. C.) nació en la ciudad macedonia de Estagira. Entre el año 368 y el 347 a.C. vivió en Atenas, donde estudió en la Academia platónica. A la muerte de Platón volvió a Macedonia, siendo nombrado preceptor de Alejandro Magno. En el año 335 a.C. regresó a Atenas, donde fundó su propia escuela de filosofía, el Liceo. Murió el año 322 a.C. en Calcis de Eubea.

En todo el pensamiento de Aristóteles es evidente por un lado la influencia de la filosofía de Platón, pero también su voluntad de distanciarse de la misma y elaborar un sistema independiente. Así vemos que está de acuerdo con su maestro en que la ciencia es conocimiento de lo universal y permanente y no de lo singular cambiante, pero no comparte la tesis de que la información que nos proporcionan los sentidos sea irrelevante para el conocimiento. Es cierto que los sentidos nos ponen en contacto con un mundo de cosas en constante mutación, pero ello no significa que no haya nada que aprehender en él.

Para Aristóteles el objeto del conocimiento científico son las causas que operan siempre que se produce un cambio. A diferencia de Platón está convencido de que puede haber ciencia de las cosas sensibles, sean celestes o terrenales, porque la ciencia es conocimiento de las causas que determinan la aparición de los fenómenos{15}. Puesto que lo propio y peculiar de las cosas que percibimos es que están sujetas a cambio, la ciencia de lo sensible se ocupará de las causas del cambio.

La investigación no debe limitarse al Cielo, como sostenía Platón, sino que debe referirse también a la Tierra, ya que tan permanentes son las causas del giro de las estrellas como las de la caída de las piedras. Hay pues una física terrestre y una física celeste que no se unifican en una sola. Aristóteles está de acuerdo con Platón en que existe un mundo celeste y uno terrestre, pero, a diferencia de su maestro, piensa que este último también puede ser objeto de conocimiento.

Partiendo de estos principios epistemológicos Aristóteles desarrolla su modelo cosmológico en sus obras Física y Tratado del Cielo. Para ello toma como referencia el modelo astronómico de Eudoxo, pero marca un cambio importante en la TI, pues introduce una perspectiva física{16}. Sus esferas son corporales, no construcciones matemáticas, y sus planetas y estrellas son cuerpos físicos, unidos a un conjunto de capas rotatorias interconectadas. Esto le obliga a proponer un mecanismo para explicar porque los cuerpos se mueven como lo hacen.

La gran innovación de Aristóteles consiste en ofrecer un modelo físico de los cielos reales, de acuerdo no solamente con el postulado de movimiento circular uniforme, sino también con los principios generales de su filosofía natural. El cosmos de Aristóteles es un universo de dos regiones: hay una abrupta distinción entre el mundo sublunar y el supralunar. La primera región, que abarca la Tierra y el aire, hasta la Luna, está compuesta de cuerpos formados por los cuatro elementos (fuego, aire, agua y tierra) con sus movimientos naturales siempre rectilíneos, hacia el centro de la Tierra para los elementos pesados (tierra y agua), o hacia arriba para los elementos ligeros (aire y fuego).

A partir de la Luna (o más concretamente, de la esfera de la Luna) los cuerpos celestes se mueven de forma natural en movimientos circulares uniformes y eternos, sin estar sometidos a las leyes de la física terrestre. Las estrellas, los planetas y en general todos los cuerpos celestes están compuestos para Aristóteles de un tipo de materia completamente diferente, una sustancia etérea o divina llamada quinto elemento o éter. Obsérvese que en la física de Aristóteles el movimiento (al menos el natural) viene determinado por la composición material del cuerpo: hacia abajo, es decir hacia el centro de la Tierra (que es a la vez centro del Universo) para los elementos pesados, tierra y agua; hacia arriba para los elementos ligeros, aire y fuego; en círculo para el éter o quinto elemento.

En el Universo de Aristóteles no podía existir el vacío, ni en el mundo sublunar ni en el supralunar. Por otra parte, y a diferencia de su maestro Platón, no cree que el Universo haya sido creado, y sostiene que es no generado e indestructible, en otras palabras, eterno. Por otra parte rechaza la infinitud de este Universo, con el argumento de que por su propia naturaleza el mundo giraba en un círculo, y si tal movimiento se produjera en un cuerpo infinito ello nos llevaría a una velocidad infinita, lo cual era imposible.

Aunque Aristóteles sostiene que la Tierra está situada en el centro del Universo, esto es solamente en sentido geométrico. No ve ninguna razón para identificar este centro geométrico con el centro verdadero o «natural», entendido en el sentido físico o cosmológico. Por el contrario sostiene que este estatus más elevado pertenece a la esfera de las estrellas fijas, de donde se transmite el movimiento a las partes más interiores del mundo. No sólo era la esfera estelar de una naturaleza más noble que la de la Tierra corruptible, sino que también era el origen del tiempo universal, y estaba más cercana al primer motor inmóvil (correspondiente a Dios).

Así pues Aristóteles no solamente estableció la primera astronomía física, sino que planteó las preguntas mayores de la cosmología, y trató de darles respuesta. La influencia de su obra se prolongó mucho tiempo: cristianizada por Tomás de Aquino en el siglo XIII, ejerció plena influencia hasta el siglo XVI, y no fue totalmente refutada hasta principios del siglo XVIII, cuando Newton estableció una nueva física.

El modelo de Aristóteles introduce una nueva dimensión en la TI, la física o cosmológica. Desde el punto de vista astronómico no resuelve el problema empírico del movimiento de los planetas, pero tampoco se lo propone. De hecho el modelo de Aristóteles fija su atención en un problema empírico totalmente distinto: explicar las causas del movimiento, tanto en el mundo terrestre como celeste.

Desde el punto de vista conceptual cabría preguntarse si el modelo de Aristóteles es coherente con la TI del Universo de las dos esferas. En realidad pensamos que aunque Aristóteles introduce perspectivas nuevas, sigue respetando los elementos básicos de la metodología y de la ontología propias de la TI que nos ocupa. Su Universo es geocéntrico y limitado por la esfera del cielo. Los movimientos celestes se explican por reducción a movimientos circulares, y su énfasis en la separación del mundo sublunar y supralunar es perfectamente admisible en la ontología del Universo de las dos esferas.

La astronomía alejandrina: Ptolomeo y sus predecesores

Tras la muerte de Alejandro Magno (323 a.C.) un año antes de la de Aristóteles, su inmenso imperio fue dividido entre sus generales. En el año 331 a.C., tras anexionarse Egipto, Alejandro había fundado allí la ciudad que llevaba su nombre, Alejandría. Cuando el general Ptolomeo Soter heredó este país y se convirtió en el primer rey de la dinastía de los Ptolomeos (305 a.C.) el foco de importancia cultural se fue desplazando desde Atenas a esta ciudad greco-egipcia.

A este esplendor cultural contribuyeron notablemente la creación de dos importantes instituciones: el Museo y la Biblioteca. El Museo fue un gran centro de investigación y docencia, construido en honor de las Musas (de aquí su nombre). La Biblioteca, con más de 700.000 volúmenes, permitió recopilar, copiar y guardar las obras de todos los grandes estudiosos de la antigüedad. En estas instituciones desarrolló su labor uno de los más grandes matemáticos y astrónomos de la antigüedad: Claudio Ptolomeo{17} (siglo II d.C.), por lo que a la astronomía alejandrina se la conoce también con el nombre de astronomía ptolemaica.

Ptolomeo realizó aportaciones fundamentales a la resolución del problema de los movimientos planetarios, que recogió en un libro escrito en griego llamado Gran Composición Matemática de la Astronomía. Este libro llegaría a occidente en su versión árabe Al Majesti (El más Grande), de ahí que sea conocido en su versión latinizada como Almagesto. Esta obra se convirtió en el libro canónico de astronomía en las universidades medievales desde el siglo XIII hasta bien entrado el siglo XVII.

Ptolomeo recoge, sintetiza y amplia toda la tradición de la astronomía alejandrina, en la cual hay que destacar figuras como Apolonio de Perga (240 a.C.-190 a.C.) o Hiparco de Nicea (o de Rodas) (190-120 a.C.), y a la que también contribuyeron probablemente otros astrónomos desconocidos. Es característico de esta tradición la idea del movimiento circular para la cuerpos celestes{18}, pero recurriendo, para salvar las apariencias, a combinaciones de círculos. Esto es una novedad con respecto a las teorías anteriores, pero perfectamente asimilable a la TI del Universo de las dos esferas Estas combinaciones serian;

1. Círculos Excéntricos. El objeto celeste gira alrededor de la Tierra en un círculo cuyo centro no coincide con la Tierra, aunque se halla situado en línea recta con ella.

2. Círculos Epiciclos y Deferentes. El objeto celeste gira alrededor de un punto (Epiciclo) que a su vez gira alrededor de la Tierra (Deferente).

3. Círculo Ecuante. Parece que la definición de este círculo es original de Ptolomeo, siendo los otros dos heredades de la tradición alejandrina. El movimiento del centro del Epiciclo que traza el Deferente no es uniforme con respecto al centro de su movimiento circular, sino con respecto a un tercer punto, distinto del centro del Deferente y del centro de la Tierra. El radio vector que une el nuevo punto con el centro del Epiciclo es el que barre ángulos iguales en tiempos iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad angular del centro del Epiciclo no es uniforme en relación al Deferente, sino de otro círculo imaginario, el Círculo Ecuante, del que el tercer punto introducido, el punto Ecuante, sería el centro.

Veamos ahora cómo mediante este instrumental conceptual describe la astronomía ptolemaica el movimiento del Sol y de los planetas. En el caso del Sol era necesario explicar la llamada anomalía zodiacal, que consiste en que este astro tarda seis días más en pasar del equinoccio de primavera al de otoño (alejados entre sí 180º) que del equinoccio de otoño al de primavera (alejados igualmente 180º). Puesto que atraviesa la misma distancia empleando en uno y otro caso tiempos distintos, es obvio que su velocidad no es uniforme, o al menos no se observa como tal.

Es probable que estas dificultades para describir el movimiento del Sol las que hicieran nacer la idea del círculo Excéntrico. La idea básica es que la velocidad angular y el tamaño del Sol no se mantienen invariantes a lo largo del año porque la observación no se realiza desde el centro geométrico de su órbita. Es decir, el centro de la órbita solar y el centro de la Tierra no coinciden, debido a que éste se encuentra algo desplazado con respecto al anterior.

En resumen, la anomalía zodiacal del Sol se resuelve postulando que su movimiento anual no se observa ni se mide desde el centro, pero ello nos lleva a afirmar algo muy osado, que la órbita circular de este astro no es concéntrica sino excéntrica a la Tierra y a la esfera de las estrellas. Para salvar el movimiento aparente del Sol es necesario postular un círculo Excéntrico.

Mucho más complejo es el problema de los planetas. En su desplazamiento hacia el este a lo largo de la eclíptica (movimiento directo) estos cuerpos pierden velocidad, llegando a detenerse (punto estacionario), y a invertir el sentido de la marcha (movimiento retrógrado o retrogradación). La retrogradación hacia el oeste puede durar semanas o meses, hasta que recuperan la «dirección normal» hacia adelante. Por otra parte puede también observarse que los llamados «planetas inferiores» (los que están por debajo del Sol y más próximos a la Tierra: Venus y Mercurio) retrogradan cuando están en conjunción con el Sol, es decir, cuando están en la misma región del zodiaco que este astro.

A su vez, lo llamados «planetas superiores» (los que están por encima del Sol: Marte, Júpiter y Saturno) presentan movimiento retrógrado cuando están en oposición al Sol, es decir, cuando están en la región del zodiaco más alejada (a 180º de distancia).

Ptolomeo describe el movimiento de los planetas a través de la combinación de la rotación de dos círculos (no de dos esferas), de la manera siguiente. Por lo que se refiere a los planetas inferiores, el planeta describe un círculo, denominado epiciclo, cuyo centro coincide con el Sol. A su vez dicho centro gira en torno a la Tierra, dibujando un círculo de mayor tamaño denominado deferente.

Al recorrer el planeta su epiciclo con movimiento uniforme emplea un tiempo que ha de coincidir con su revolución sinódica (tiempo medio empleado en pasar por dos conjunciones). En cambio, el tiempo empleado por el centro del epiciclo en trazar el círculo deferente (también con velocidad uniforme) ha de ajustarse a la duración de su revolución zodiacal (tiempo medio empleado en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra).

La combinación del movimiento del epiciclo con el deferente, girando ambos círculos en el mismo sentido, engendrará, visto desde la Tierra, el movimiento en bucle que de hecho se observa. A pesar de que en el cambio de movimiento directo a retrógrado el planeta parece detenerse, en la realidad siempre se mueve uniformemente y en círculos, de modo que los principios (de origen platónico) de uniformidad y circularidad no se violan en ningún momento. Sin embargo este modelo, sin ser heliocéntrico, tampoco es ortodoxamente geocéntrico, puesto que la Tierra no es el único centro de rotación de todos los cuerpos.

El modelo se puede extender a los planetas superiores, con la salvedad de que el centro de sus correspondientes epiciclos no está ocupado por el Sol, sino por un simple punto geométrico. El tiempo empleado en recorrer el epiciclo corresponde al período sinódico del planeta (en los planetas superiores es el tiempo medio que transcurre entre dos oposiciones sucesivas al Sol). Y el tiempo que tarda el deferente en dar una vuelta completa se ajusta al período zodiacal (tiempo que tarda el planeta en dar un vuelta completa en torno a la Tierra).

Pero los planetas también presentan su propia anomalía zodiacal, al igual que el Sol, ya que en su recorrido en torno a la Tierra parecen desplazarse con velocidad no constante. Para salvar esta anomalía puede utilizarse la misma hipótesis empleada para el sol: los círculos excéntricos. En este caso el círculo excéntrico sería deferente, cuyo centro de rotación no sería la Tierra, sino un punto imaginario situado en línea recta con ella.

Pero además Ptolomeo introdujo otra hipótesis correctora: el ecuante. La velocidad angular del centro del epiciclo no seria uniforme en relación al deferente, sino de otro círculo imaginario (círculo ecuante), del que un tercer punto (punto ecuante), distinto del centro del deferente y de la Tierra, sería el centro.

Ptolomeo es el último gran astrónomo de la Antigüedad. Su obra representa un monumental esfuerzo intelectual dirigido a dar razón a las manifestaciones celestes (salvar las apariencias) dentro de un marco teórico que tiene dos pilares básicos: la razón y la experiencia. En el punto de partida se dispone de los datos de observación y de ciertos principios racionales y metodológicos de la tradición platónica. En el punto de llegada se obtiene una reinterpretación de estos datos gracias a la construcción de un modelo geométrico que ha tomado como guía dichos principios. Pero Ptolomeo, y en general los alejandrinos, no realizaron una transformación paralela en el terreno de la cosmología y de la física heredadas de Aristóteles.

Después de Ptolomeo ya no hay nuevas aportaciones en el terreno de la astronomía (y tampoco de la cosmología). Después de muchas vicisitudes, su obra fundamental sería traducida del árabe el latín en el siglo XII (conservando el nombre árabe de Almagesto) y se convertiría en la obra canónica de astronomía en las universidades medievales a partir del siglo XIII. Paralelamente, las obras de Aristóteles (también traducidas al latín) Física y Tratado del Cielo cumplirían igual función en el terreno cosmológico. Hasta el siglo XVI no se pondrían en discusión.

La astronomía ptolemaica consigue solucionar de manera brillante el problema empírico del movimiento de los planetas, que no había sido solucionado por otros modelos anteriores. Desde el punto de vista conceptual algunas de las innovaciones que introduce pueden rozar la contradicción con los elementos constitutivos de la TI del Universo de las dos esferas. La introducción de círculos excéntricos, epiciclos y deferentes puede llevar a la interpretación de que el modelo no es estrictamente geocéntrico. Los círculos ecuantes pueden considerarse que violan el principio de velocidad uniforme de los cuerpos celestes. De hecho, las críticas que siglos más tarde realizaría Copérnico a la astronomía ptolemaica se basarían, más que en otra cosa, en estos problemas conceptuales{19}.

Pero a pesar de todo ello puede considerarse que la astronomía de Ptolomeo (y de los alejandrinos en general) se mantiene dentro de los límites metodológicos y ontológicos de la TI del Universo de las dos esferas. La fuente de los mismos es platónica, y la mayoría de sus elementos constitutivos los encontramos en el Timeo, aunque en lo que respecta a la metodología, fundamentada en la teoría de las ideas o formas, también podemos encontrar fuentes en el Fedón, La República o el Teeteto.

La inspiración platónica del universo de las dos esferas

Una TI se caracteriza por una metodología y una ontología específicas. En el presente apartado vamos a analizar como es la metodología y la ontología que caracterizan al Universo de las dos esferas y mostrar que ambas tienen una inspiración claramente platónica.

La metodología del Universo de las dos esferas

La metodología del Universo de las dos esferas se fundamenta en la reducción de todos los movimientos de los cuerpos celestes a círculos o esferas a fin de salvar los fenómenos, es decir, identificar una forma de movimiento inteligible (la circular) que subyace a los aparentemente caóticos movimientos de los cuerpos celestes, tal como son aprehendidos por los sentidos. Tal como intentaremos demostrar, el fundamento filosófico de esta metodología es la teoría platónica de las ideas o formas.

Tal como sostiene Reale{20}, Platón afirmó la existencia de un plano del ser, más allá de los fenómenos físicos que conocemos mediante los sentidos, o sea, el descubrimiento del ser meta-fenoménico, cognoscible mediante el logoi (inteligencia) y por consiguiente, el ser puramente inteligible. Esta teoría se desarrolla en Fedón 99d-107a como cambio radical de método de aproximación a la realidad cuyo principio o fundamento es la existencia de las ideas o formas.

Los términos idea y eidos (forma), en griego, derivan del verbo idein que significa «ver». En el significado común o vulgar este término indicaba la forma visible de las cosas. A partir de Platón pasa a significar la «forma interna», la naturaleza específica o esencia de las cosas, es decir, el verdadero ser de las cosas.

Para Platón, el conocimiento dialéctico (es decir, el conocimiento filosófico o verdadero) consiste en saber unificar la multiplicidad de las cosas en una visión sinóptica, reagrupando la multiplicidad sensorial en la unidad de la idea, de la cual las cosas dependen. Las matemáticas, o más exactamente, la geometría, son el camino fundamental para la construcción de este conocimiento dialéctico.

«La geometría es la ciencia de lo que siempre es, y no de lo que en un determinado momento se genera y en otro perece (…) La geometría es conocimiento del ser que existe siempre.»{21}

Este y no otro va a ser el método de los astrónomos griegos, desde Eudoxo a Ptolomeo{22}. Bajo la aparente multiplicidad de los movimientos caóticos de los cuerpos celestes, tal como los sentidos nos los muestran, está la autentica realidad de los movimientos circulares que subyacen a ellos.

La metodología platónica es abstractiva, pero no en el sentido moderno del término abstracción. No se trata de llegar a la elaboración de conceptos a partir de los datos que nos ofrece la experiencia. En Platón la abstracción significa algo diferente: el término aphairesis, que puede traducirse por abstracción, significa en realidad «detracción», «sustracción» o «desplazamiento».

En esta noción platónica de abstracción no se va a la elaboración de meros pensamientos, sino al descubrimiento de cosas reales, de las autenticas cosas reales, entendidas desde una nueva dimensión del ser. Para llegar a definir la esencia de las cosas reales se llega a esta esencia «abstrayéndola» de todo lo demás. Así, los movimientos circulares de los cuerpos celestes no son meros conceptos abstractos, modelos o idealizaciones, sino la auténtica realidad inteligible a la que llega la inteligencia «abstrayéndolos» del caos confuso de datos sensibles.

Tal como sostiene Reale (págs. 224-225) la dialéctica platónica sigue dos procedimientos: uno de origen socrático, que procede de lo particular a lo universal, o de las cosas sensibles a las ideas; otro diairético, de origen pitagórico y inspirado en el proceso matemático, que se desarrolla descomponiendo la cosa de la cual se trata (por vía de la «abstracción») en los elementos de los que se compone. Estos elementos son los «realmente reales». En la astronomía se aplica esta segunda vía, y así se llega al movimiento circular, el que es «realmente real».

En cualquier caso la auténtica realidad es aprehendida por la inteligencia, no por los sentidos. Así lo afirma Platón en el Timeo:

«Cuando en el ámbito de lo sensible tiene lugar el razonamiento verdadero y no contradictorio (…) se originan opiniones y creencias sólidas y verdaderas, pero cuando el razonamiento es acerca de lo inteligible (…) resultan necesariamente el conocimiento noético y la ciencia.» (Timeo 37c)

Pero la metodología y la ontología de una TI están estrechamente conectadas. El método a seguir está en función de los seres realmente existentes, y sobre este particular nos instruye la ontología.

La ontología del Universo de las dos esferas y el Timeo platónico

Una primera aproximación a la ontología del Universo de las dos esferas parece mostrarnos un panorama más bien simple: cuerpos celestes que giran en círculos (o en combinaciones de los mismos), y dos esferas, la de la Tierra y la del Cielo, que los contienen. Pero un análisis más profundo nos revela que otros «entes» subyacen a estos. Son los que encontramos en el Timeo, la gran obra cosmológica de Platón, y son: el Demiurgo, la esfera, el alma y los entes matemáticos.

El Demiurgo es el dios que construye el Universo, pero a diferencia del dios cristiano o judío no crea de la nada, sino que ordena unos elementos materiales preexistentes copiando un modelo ideal.

«Como el dios quería que todas las cosas fueran buenas y no hubiera en lo posible nada malo, tomó todo cuanto es visible, que se movía sin reposo de manera caótica y desordenada y lo condujo del desorden al orden, porque pensó que este es en todo sentido mejor que aquel.» (Timeo 30)

El Demiurgo representa, de manera mítica, uno de los elementos fundamentales de la metafísica platónica: el primer principio, el principio de unidad o el Uno. El todo cuanto es visible es el segundo principio o diada. El Uno, operando sobre el principio diádico, que es multiplicidad, indeterminación y desorden, lo de-termina, lo de-limita, lo ordena y lo unifica. La verdad y la cognoscibilidad de las cosas depende de esta acción del Uno sobre la diada: el Ser, en cuanto determinado, delimitado, ordenado y unificado es cognoscible (Reale, págs. 189-192).

El Demiurgo construye el universo material a partir de un modelo ideal. Pero hay que tener muy presente que para Platón este Universo material es «real» en la medida que refleja al modelo ideal, que es el «realmente» existente. Por eso su forma es esférica.

«Le dio una figura conveniente y adecuada. La figura apropiada para el ser vivo que ha de tener en sí todos los seres vivos debería ser la que incluye todas las figuras. Por tanto, lo construyó esférico, con la misma distancia al centro que a los extremos, circular, la más perfecta y semejante a sí misma de todas las figuras, porque consideró muchísimo más bello lo semejante que lo disímil.» (Timeo 33b)

Pero no solamente lo hizo esférico, sino que le imprimió un movimiento circular

«Pues le proporcionó el movimiento propio de su cuerpo, el más cercano al intelecto y a la inteligencia de los siete. Por tanto, lo guió de manera uniforme alrededor del mismo punto y le imprimió un movimiento giratorio circular.» (Timeo 34).

«Creó así un mundo circular, que gira en círculo, único, solo y aislado.» (Timeo 34b).

Esta forma esférica y el movimiento circular que le es propio la encontramos también en el interior del Universo y en los movimientos relativos de sus partes

«A continuación partió a lo largo todo el compuesto, y unió las dos mitades resultantes por el centro formado una X. Después, dobló a cada mitad en círculo, hasta unir sus respectivos extremos en la cara opuesta al punto de unión de ambas partes entre sí y les imprimió un movimiento de rotación uniforme. Colocó un círculo en el interior y otro en el exterior y proclamó que el movimiento exterior correspondía a la naturaleza de lo mismo y el interior a la de lo otro. Mientras a la revolución de lo mismo le imprimió un movimiento giratorio lateral hacia la derecha, a la de lo otro lo hizo girar en diagonal hacia la izquierda y dio el predominio a la revolución de lo mismo y semejante; pues la dejó única e indivisa, en tanto que cortó la interior en seis partes e hizo siete círculos desiguales.» (Timeo 36c-d)

Estos siete círculos desiguales corresponden al movimiento de los cuerpos celestes, también circular.

El Universo, tal como lo concibe Platón en el Timeo, es un ser vivo, y por tanto tiene alma. Esta alma es la condición de su «inteligibilidad». Así hombre y mundo pueden comunicarse porque ambos tienen alma.

«Primero colocó el alma en su centro (del Universo) y luego la extendió a través de toda la superficie y cubrió el cuerpo con ella.» (Timeo 34b)

«El dios no pensó en hacer el alma más joven que el cuerpo, tal como hacemos ahora al intentar describirla después de aquél --pues cuando los ensambló no habría permitido que lo más viejo fuera gobernado por lo más joven--, mas nosotros dependemos en gran medida de la casualidad y en cierto modo hablamos al azar. Por el contrario el demiurgo hizo el alma primera en origen y en virtud y más antigua que el cuerpo.» (Timeo 34c)

Es decir, aunque el alma y el cuerpo del mundo fueron creados al mismo tiempo, el alma es más «antigua» por tener mayor dignidad y regir y controlar al cuerpo. Ello es congruente con la metafísica platónica, según la cual lo ideal es más real que lo material. El auténtico conocimiento sobre el Universo versará sobre el alma del mundo y debe ir dirigido a lo inteligible, y no a lo sensible.

Pero el ser humano no es solamente alma, sino que también es cuerpo. Esto quiere decir que participa de lo inteligible, pero también de lo sensible. Aquí es donde juegan un papel fundamental los entes matemáticos (números y figuras geométricas) tal como Platón los entendía: relaciones articuladas de magnitudes y de fracciones de magnitudes. Los entes matemáticos se conciben como intermediarios entre el mundo de las ideas y el mundo sensible (Reale, págs. 204-207). Esta cualidad de los entes matemáticos se manifiesta de dos maneras: como instrumento del Demiurgo para crear el Universo, y como instrumento del alma humana para conocer este Universo.

«Después de unir los tres componentes dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y del ser. Comenzó a dividir así: primero extrajo una parte del todo; a continuación saca una porción el doble de esta; posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; y la cuarta el doble de la segunda, y la quinta el triple de la tercera, y la sexta ocho veces la primera, y, finalmente, la séptima veintisiete veces la primera.» (Timeo 35b-c)

«Después de que entre los primeros intervalos se originaran de estas conexiones los de tres medios, de cuatro tercios y de nueve octavos, llenó todos los de cuatro tercios con uno de nueve octavos y dejó un resto en cada uno de ellos cuyos términos tenían una relación numérica de doscientos cincuenta y seis a doscientos cuarenta y tres.» (Timeo 36b)

Cuenta la leyenda que en el pórtico de la Academia se había colocado como epígrafe la siguiente frase. «No ingrese el que no sepa geometría». Aunque no está claro si la leyenda es cierta, responde plenamente al espíritu platónico y a su teoría del conocimiento. Si la geometría (o las matemáticas) habían sido el instrumento del Demiurgo para crear el mundo, también debían ser el instrumento del hombre para conocerlo.

Agradecimientos

Mi agradecimiento al profesor Carlos Martín (Fundación Canaria Orotawa de Historia de la Ciencia) por sus sugerencias y comentarios.

Bibliografia

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Reale, G, (2002) Platón: en búsqueda de la sabiduría secreta. Barcelona, Ed. Herder.

Rioja, A. y Ordóñez, J. (1999) Teorías del Universo: de los pitagóricos a Galileo. Madrid, Editorial Síntesis.

Notas

{1} T. S. Kuhn (1985) La revolución copernicana. Barcelona, Ed. Ariel, págs. 52- 55.

{2} T. S. Kuhn (1975) La estructura de las revoluciones científicas. Madrid y México, Fondo de Cultura Económica.

{3} L. Laudan (1986) El progreso y sus problemas. Hacia una teoría del crecimiento científico. Madrid, Ediciones Encuentro, págs. 113-116

{4} Kuhn, (1985) págs. 52-62.

{5} A. Rioja & J. Ordóñez (1999) Teorías del Universo: de los pitagóricos a Galileo. Madrid, Editorial Síntesis, págs. 35-36.

{6} Kuhn (1975) obra citada págs. 33-34

{7} A. R. Pérez Ransanz (1999) Kuhn y el cambio científico. México, Fondo de Cultura Económica, pág. 35.

{8} A. Bird (2002) Thomas Kuhn. Madrid, Editorial Tecnos, págs. 101 – 103.

{9} Kuhn (1975) Posdata 1969. En Kuhn, obra citada, págs.268- 270.

{10} Laudan (1986) obra citada, pág. 109.

{11} Kuhn (1975) obra citada, págs. 36-38.

{12} Sobre la dificultad de aplicar el modelo de Kuhn a determinados periodos históricos ver Alsina (2002) «Modelos de estructura y dinámica científica en la Medicina Hipocrática» Llull, vol. 25, págs. 5-16; Alsina (2006) «Modelos de cambio científico a partir de la selección natural: análisis y propuestas» Llull, vol. 29, págs. 221-257, y Alsina (2009) «De la Teoría de la Tierra a las Épocas de la naturaleza de Bufón: análisis de una mutación conceptual» Llull, vol. 32, págs. 5-32.

{13} Ver A. Rioja & J. Ordóñez (1999) obra citada, págs. 33-36.

{14} La eclíptica es el círculo máximo inclinado que corta al ecuador celeste según un ángulo de 23 ½º en dos puntos diametralmente opuestos. Todos los puntos en los que un observador terrestre puede ver el centro del Sol en proyección sobre la esfera de las estrellas se encuentran sobre la eclíptica

{15} Rioja y Ordóñez (1999), obra citada, pág. 47

{16} Ver H. Kragh (2008) Historia de la cosmología: De los mitos al universo inflacionario. Ed. Crítica, Barcelona, págs. 44-49.

{17} Que no tiene nada que ver con la dinastía de los Ptolomeos que reinó en Egipto hasta la conquista romana.

{18} La cual la sigue situando en el paradigma de las dos esferas.

{19} Copérnico reivindicaba el modelo aristotélico y en consecuencia criticaba a la astronomía ptolemaica por apartarse del mismo, pero este modelo que reivindica tiene mucho de platónico.

{20} G. Reale (2002) Platón: en búsqueda de la sabiduría secreta. Barcelona, Ed. Herder, págs. 179-182.

{21} República 526d-527b

{22} Tal como ya hemos comentado, la única excepción está en Aristóteles, que además de los modelos geométricos se preocupo de la realidad física. Ver supra.

 

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